문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 베른하르트 리만 (문단 편집) == 업적 == * [[비유클리드 기하학|리만 기하학]]: [[유클리드]]가 세운 평면 [[기하학]]의 [[안티테제]]로, '''굽은 공간'''(곡면)에서의 도형을 연구하는 학문이다. 예를 들면, 평면에서 삼각형의 내각의 합은 180˚가 되는데, '''곡면에서는 180˚가 나오지 않는다.'''[* 당장 지구본에서 북극점과 경도 0도, 경도 90도의 임의의 점을 연결하면, 삼각형은 되지만 내각의 합이 180˚를 넘음을 알 수 있다.] [[일반 상대성 이론]]의 기술에도 사용된다. * [[위상수학]]의 [[연결 공간|연결성]]에 대한 연구를 처음 시작하였다. * 리만 적분, 리만 합: [[적분]] 관련 용어다. 흔히 [math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\ dx)]를 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f \left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n})]라고 표현하는게 바로 이 리만 합이다.[* 이 표현법은 구간내 함수값을 오른쪽 끝값으로 택할 경우다. 일반적인 연속함수에서는 왼쪽 끝값, 오른쪽 끝값, 구간내 임의의 점을 택해도 수렴값이 일치하기 때문에 편의성을 높여서 이렇게 표현하는 것.][* 보다 일반적인 리만합은 [math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\ dx = \lim_{max(\Delta x \to 0)}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k}^{*}) \Delta x_{k})]로 정의된다. 참고로 [math(\Delta x_{k})]의 최대값이 0이 되도록 하기 위해서는 자연스럽게 [math(n \to \infty)]가 전제되므로 해당 극한을 취해야 한다는 점은 굳이 기재하지 않는다.][br]([math(x_{n}^{*})]은 [math(a)]를 시작점으로 하고 [math(b)]를 끝점으로 하는 [math(x_{n} \in (a,b))]에 속하는 임의의 분할 구간 내부[* 즉, [math(x_{n}^{*}\in [a_{n}, a_{n+1}])]에 속하는 특정 값. 이 값을 표본점(sample point)라 부른다.)[br]단 [math({\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}}[a_{n}, a_{n+1}]=[a,b], n\ne m \to (a_{n}, a_{n+1})\cap(a_{m}, a_{m+1})=\emptyset)]] * [[코시-리만 방정식]]: 편[[미분방정식]]의 일종. 평면상의 정칙함수에서 정의되는 특수한 방정식이다. [math(z=x+yi)]일 때, [math(f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y))]로 [math(f(z))]의 실수부와 허수부를 각각 x, y에 대한 실함수 형태로 분리할 수 있을 경우, 각 편미분은 다음 형태로 정의된다.[br]{{{+3 [math(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y})][br][math(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x})]}}}[br]즉, 야코비안 형식으로 정리하면, 이 편미분은 {{{+3 [math({\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}}(a=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, b=\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}))]}}}이 된다. 증명과정은 문서 참조. * [[리만 제타 함수]]: 제타 함수의 정의역을 확장하여 재정의한 함수로, [br][math({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}}n^{-s})][br]와 같은 형태이다. 이 함수에서 [[리만 가설]]이 제기되었다. * 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) : 복소평면상의 열린 연결 집합 중에서 공집합이나 전체집합이 아니라면 단위 원판으로의 미분가능한 전단사 함수가 존재한다는 정리. 즉, 복소평면상의 열린 연결 집합 중에서 공집합이나 전체집합이 아닌 모든 집합은 서로 동등하다는 뜻이다. * 리만 곡면: 복소평면상의 [[다가 함수]]의 모든 그래프를 아래와 같이 '하나의 곡면'으로 이어붙인 것을 말한다. [[파일:Riemann_surface_arcsin.svg|width=320]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기